Paradoxes de dichotomie de Zénon: Réfutation de la prétendue résolution mathématique

Version 19 du 16.7.2024

Démonstration novatrice d’un  paradoxe réel 

Le paradoxe de la dichotomie de Zénon peut être illustré par le lancement d’une pierre vers un arbre situé à 8 mètres. Lorsque la pierre part d’un point "A" en direction de l’arbre à "C", elle doit inévitablement passer par une zone médiane en "B" avant d’atteindre son objectif.

Sans le passage préalable par le point médian de "B", le mouvement de "A" à "C" ne pourrait tout simplement pas se réaliser. Nier cela impliquerait de postuler que la pierre pourrait passer directement de son point de départ à l’arrivée sans traverser la zone intermédiaire, ce qui s’apparenterait à une téléportation. Ainsi, ce passage par "B" est aussi crucial que le fait qu'un mouvement ne puisse exister sans un point de départ et un point d'arrivée. Ce phénomène est aussi indéniable qu'empiriquement prouvé.

Pourtant, une fois la pierre parvenue à la moitié du trajet en "B", elle doit couvrir la distance restante, marquée par une nouvelle distance médiane entre "B" et "C". Ce processus, inhérent à la dynamique du mouvement, se répète pour chaque distance restante, et ainsi de suite indéfiniment dans une série infinie de moitiés restantes : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…

La question qui se pose est alors la suivante : comment est-il possible que le trajet se termine alors qu’il y a continuellement de nouvelles moitiés restantes à parcourir à chaque nouvelle moitié parcourue dans la chronologie du temps ? Comment finir le puzzle de la série 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16+… sans dernière moitié restante ? 

Source de l’image

Ma façon différente de traiter le problème de Zénon : 

Là où Zénon conclut que cela prouve l’impossibilité du mouvement, je préfère reconnaître que la pierre atteint bel et bien l’arbre puisque, en effet, c’est le cas. La question est alors moins de prouver que celle-ci ne l’atteint jamais, mais plutôt d'expliquer comment cette arrivée à l’arbre est possible. Ce qui change radicalement la façon d’aborder le problème.

Pour moi, Zénon se trompe sur le terme de ”dichotomie” :

C’est ici que ma perception du paradoxe diffère fortement de celle de Zénon. Là où Zénon parle de dichotomie et conçoit le problème en termes de découpage du mouvement, je trouve cette idée incorrecte et réfutable. Pour moi, il est plus exact de parler d’itinéraire.

Pour aller de “A” à “C”, il est nécessaire de traverser l’espace et non de le “découper”. Ainsi, si “A”, “B” et “C” étaient des villes sur une carte, la ville de “C” ne pourrait être atteinte sans passer par la ville de “B” après être parti de la ville de “A”.

Le fait de parcourir une distance entre “A” et “C” en suivant un itinéraire, quel qu’il soit, ne signifie pas pour moi que ce mouvement soit découpé en segments, comme le suggère le mot "dichotomie".

Là où Zénon voit des segmentations, je vois un mouvement continu, un chemin obligé pour arriver à destination. Le problème de Zénon n’a donc rien à voir avec un découpage mais tout à voir avec des étapes physiques obligées sur l’itinéraire d’un parcours.

Comprendre cela est important pour saisir que l’idée de Zénon n’est pas simplement philosophique ou mathématique mais un problème d’ordre physique. Ce dont il parle n’a en réalité aucun rapport avec une division. Les moitiés restantes ne sont pas des divisions arbitraires ou juste une idée philosophique, mais un itinéraire physique et existant indépendamment d’une volonté de diviser un mouvement en petits morceaux.

Ainsi, bien plus qu'une idée philosophique ou imaginaire, je prends cela pour un fait physique : on ne peut nier que pour passer de “A” à “C”, nous devons traverser un espace intermédiaire en “B”. Passer par des étapes est inhérent aux lois du mouvement.

C'est un fait empiriquement prouvé qu’un parcours entre “A” et “C” ne peut aboutir sans passer par la distance intermédiaire. Ce fait est autant prouvé que l’arrivée à l’arbre. Pourtant, ces faits, bien que réels physiquement et prouvables, se contredisent, d’où le paradoxe.

Le paradoxe renommé en PE/MR : 

Ainsi, pour éviter la confusion associée au terme "dichotomie", qui pourrait laisser entendre une division purement philosophique voire même imaginaire et non un itinéraire réel, et pour souligner que les moitiés restantes sont des passages parfaitement physiques aussi réels que des villes sur un tronçon faisant partie intégrante de l’itinéraire d’un parcours et non une suite de divisions, je propose de l'appeler le "Parcours Éternel des Moitiés Restantes" (PE/MR).

Réfutation de la résolution mathématique 

De nos jours, beaucoup considèrent que le paradoxe de la dichotomie de Zénon a été résolu grâce au calcul infinitésimal. Cette idée est répandue sur des plateformes comme Wikipédia et dans de nombreux articles et vidéos, donnant l’impression que le paradoxe est définitivement clos.

L'argument semble simple : en sommant l'ensemble des moitiés restantes du “Parcours Éternel des Moitiés Restantes” (PE/MR), le calcul infinitésimal permet de déterminer que le parcours de la pierre se termine à 8 mètres et après une seconde, malgré un nombre infini de moitiés restantes du PE/MR à traverser. Le raisonnement se targue en ces termes : si on sait calculer que le parcours se termine après une seconde et 8 mètres, c’est nécessairement que l’on vient de démontrer que Zénon se trompe en disant que la pierre n’atteint jamais l’arbre. Pourtant, bien que le calcul soit juste et qu’il soit effectivement possible de calculer quand la pierre atteindra l'arbre, ce que tout le monde peut constater sans mathématiques, je vais expliquer pourquoi ce raisonnement est un raccourci trompeur qui n’a pas saisi que tous l’ensemble du paradoxe de Zénon se trouve justement dans cette finitude calculée.

Pourquoi est-ce une erreur de vouloir contredire Zénon par la finitude ?

Si le calcul infinitésimal permet effectivement de démontrer que la distance entre la pierre et l’arbre est de 8 mètres, il est clair que cela ne contredit pas Zénon, cela montre simplement que l’espace à parcourir est fini, ce qui est un prérequis pour que ce paradoxe prenne forme. Zénon n’a jamais affirmé que le parcours entre un départ et une arrivée était infini en longueur et en durée. Dans le paradoxe illustré par le lancement de la pierre vers l’arbre, il est évident que le parcours entre la pierre et l’arbre est fini en distance et en temps. Le fait que pour que la pierre puisse passer de "A" à "C", elle doit obligatoirement passer préalablement par "B" n’augmentera évidemment pas la durée de ce parcours ni n’en modifiera la longueur, et Zénon le savait. Il est donc faux de prétendre que pour Zénon la distance entre la pierre et l’arbre aurait dû être infinie. Cela dénote une mauvaise interprétation de la pensée de Zénon.

L’espace entre "A" et "C" est fini autant que celui entre "B" et "C", et cela est éternellement valable pour toutes les moitiés restantes suivant le PE/MR. Le fait que la pierre doive passer par un "Parcours Éternel de Moitiés Restantes" (PE/MR) et voir l’espace restant se réduire infiniment ne rendra évidemment pas ce parcours plus long qu’il ne l’est. Cela, Zénon le savait : l’agrégation du PE/MR donnera toujours une seconde et 8 mètres. Ainsi le calcule infinitesimal ne nous apprend rien que Zénon ignorait. 

Sans la dualité plus de paradoxe

La deuxième raison pour laquelle on ne peut contredire Zénon par la finitude du trajet est précisément que sans la dualité de la finitude le paradoxe disparaît. En effet le paradoxe naît de cette finitude qui constitue le pilier central et ne pourrait pas exister sans elle.

C’est la dualité entre deux assertions, toutes deux empiriquement vérifiables, qui crée le paradoxe et sans ces oppositions le paradoxe disparaît :

• D’une part, un parcours entre "A" et "C" est toujours fini, ce qui est connu par l’expérience sans recourir aux mathématiques et qui était également connu de Zénon. 

• D’autre part, cette distance ne peut être parcourue sans passer par une zone médiane en "B". Cette règle inhérente au mouvement devrait, jusqu’à preuve du contraire, s’appliquer aux moitiés restantes suivantes,  aussi petites soient-elles menant au "Parcours Éternel des Moitiés Restantes" (PE/MR).

L’énormité du paradoxe réside donc exactement dans cette dualité : Le fait qu’il est aussi exact de dire que le parcours est fini par les 8 mètres et la seconde qui la sépare de l’arbre que de dire qu'il est infini par un “Parcours Éternel des Moitiés Restantes” (PE/MR). Et pourtant aucun de ces arguments n’est réfutable.

La distance entre la pierre et l’arbre est certes finie, mais l'examen du problème à travers les passages obligés par les moitiés restantes et du temps suggère une chronologie précise dans laquelle le parcours ne devrait jamais aboutir. Pourtant, il aboutit, et c’est cela le paradoxe ! Comment expliquer cette contradiction entre la réalité du PE/MR et l'atteinte effective de l'arbre à 8m ?

Il est donc naïf de croire qu'on puisse réfuter Zénon en calculant que le parcours entre la pierre et l’arbre est fini. Bien au contraire, en calculant cette finitude, on renforce le paradoxe, en calculant ce que tout le monde sait : la pierre atteint effectivement l’arbre en un temps fini, et pourtant cela ne devrait pas être ainsi. Comment expliquer cette énigme ? Le calcul infinitésimal permet de déterminer le point précis où un trajet se termine, mais il n’apporte aucune explication sur comment cela est possible, comme nous allons le voir ici.

Comment finir le  puzzle du "Parcours Éternel des Moitiés Restantes" (PE/MR)?

Lorsque la pierre doit inévitablement traverser une zone médiane avant d’atteindre l’arbre, et que chaque moitié parcourue révèle une nouvelle zone médiane, cela crée un puzzle avec un nombre infini de pièces (les fameuses moitiés restantes du PE/MR).

Si on tente de construire ce puzzle moitié par moitié, comme il se doit dans l’épreuve chronologique du temps, cela conduit à une série sans fin d’ajouts de moitiés restantes : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, etc. La question est alors de savoir comment terminer ce puzzle sans dernière moitié au trajet, car ici, puisque le nombre de moitiés restantes est toujours infini, il ne pourra pas y avoir un terme à cette addition. Et pourtant, le terme est constaté par la limite des 8 mètres en calcule infinitesimal, d’où le paradoxe.

Il ne s’agit donc pas de nier cette arrivée, puisqu’elle est constatée même sans mathématiques, mais d’expliquer comment cette finalité est atteinte par la convergence du PE/MR et comment finir le puzzle. Il ne suffit pas de dire que la limite est la somme de l’agrégation des moitiés restantes pour prétendre expliquer cette atteinte. Oui, cette sommation de la limite représente bel et bien la somme totale du parcours, mais n’explique toujours pas comment finir ce puzzle.

Dissocier limite et convergence en calcul infinitésimal 

Bien que l’agrégation des moitiés restantes dans la série 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, etc., converge mathématiquement vers la valeur finie des 8 mètres, appelée la “limite”, il est indispensable de ne pas confondre ces deux entités mathématiques distinctes.

La convergence permet de calculer où se trouve la limite des 8 mètres, mais elle n’a pas de finalité en soi. Les mathématiques permettent de déterminer précisément où le “Parcours Éternel des Moitiés Restantes” (PE/MR) converge. Cependant, la limite, bien qu’elle définisse une valeur fixe, ne change pas la nature infinie de la convergence en une finitude. De même, la convergence ne peut pas rendre le parcours des 8 mètres infini.

Il est crucial de dissocier cette distinction pour comprendre qu’en plus de ne pas être en mesure d’expliquer le paradoxe, le calcul infinitésimal, au contraire, reproduit très fidèlement le paradoxe et avec beaucoup d’élégance. 

D’une part, la limite des 8 mètres est parfaitement fixe et montre que la pierre atteindra l’arbre après une seconde d’un trajet de 8m . D’autre part, la convergence reproduit fidèlement l’ordre dans lequel les moitiés restantes sont ajoutées une à une dans le temps, posant ainsi la question de savoir comment finaliser le trajet sans la dernière pièce manquante au puzzle de la série 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, etc.

L’erreur de confondre la série géométrique et convergence

En parcourant les explications sur internet, il me semble qu’une autre confusion importante est faite en confondant la convergence du PE/MR avec une série géométrique.

Une série géométrique est une suite de termes où chaque terme est obtenu en prenant une fraction constante du terme précédent. Par exemple, si l’on commence avec une quantité entière et que chaque partie suivante est la moitié de la précédente (1, 1/2, 1/4, 1/8, …), cela forme une série géométrique. On peut visualiser cela comme un puzzle comportant une infinité de subdivisions internes : même s’il est composé d’un nombre infini de pièces, il ne deviendra pas plus grand qu’il ne l’est. L’agrégation de toutes les pièces donnera toujours la même surface à ce puzzle.

Mais dans le PE/MR, cette association d’idées est erronée car elle néglige complètement la dimension temporelle. La série géométrique est comme un puzzle déjà monté, où l’assemblage de toutes les pièces forme une surface finie. Puisqu’il est déjà fini, ce puzzle n’implique pas l'ordre temporel des pièces assemblées. En revanche, le paradoxe de Zénon représente un puzzle en construction perpétuelle, dans l’espace et le temps, où chaque moitié restante est ajoutée successivement dans le temps. La question ici est donc de savoir comment ce puzzle spatiotemporel peut être complété.

Il est donc essentiel de ne pas confondre la série géométrique, qui traite uniquement de la somme totale des distances, avec la convergence du paradoxe de Zénon, qui intègre l'ordre séquentiel et temporel des moitiés franchies. La série géométrique ne répond pas à la question de la progression temporelle, contrairement à la convergence du PE/MR, qui révèle le processus dynamique de ce paradoxe.

Ainsi, tout comme il est crucial de distinguer la limite des 8 m, qui ne se préoccupe pas de la temporalité, de la convergence temporelle du PE/MR, qui tient compte de l’ordre séquentiel de sa construction, il est également fondamental de différencier cette convergence de la série géométrique, qui se focalise uniquement sur l’agrégation des termes sans prendre en compte la progression dans le temps.

Peut-on vraiment trancher entre la limite et la convergence ?

Il est impossible de trancher de manière catégorique entre la limite et la convergence, car chacune conduit à des conclusions justes mais contradictoires. Si l’on privilégie uniquement la limite en affirmant que la pierre atteint l’arbre, on oublie que la limite ne tient pas compte de l’ordre des moitiés dans le PE/MR.

La convergence dans le cadre du PE/MR est essentielle. Nier que pour traverser l’espace entre "A" et "C" il faut passer par un point médian "B" s’opposerait à l’expérience empirique et reviendrait à suggérer une téléportation.

Se concentrer uniquement sur le résultat final des 8 mètres de la limite pour prétendre avoir résolu le problème du PE/MR est illogique. Affirmer que la pierre atteint l’arbre n’est pas faux, mais oublier la convergence du PE/MR en ne prenant que la limite en compte n’est pas correct.

Dire que la pierre atteint l’arbre est évident sans mathématiques, mais cela ne répond pas à la question de comment le PE/MR s’achève dans le temps. Constater que le puzzle est fini sans en expliquer la raison spatiotemporelle ne réfute ni n’explique le paradoxe de Zénon.

La convergence ne se réduit pas à l'addition des distances ; elle représente l'ordre séquentiel des moitiés franchies dans le temps. Ce processus illustre l'essence même du paradoxe.

En examinant la convergence de la série 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … du PE/MR, il est justifiable de conclure à l'obligation de passer par une zone intermédiaire entre "A" et "C", sinon cela suggère la téléportation, ce qui est contestable.

La meilleure approche consiste à considérer ces deux concepts comme indéniables. Il ne s'agit pas de nier l'un ou l'autre, mais de rechercher de nouvelles théories pour réconcilier ces observations contradictoires.

Le calcul infinitésimal ne résout pas le paradoxe mais le reproduit dans sa beauté et dans sa complexité, rappelant que certaines questions sur la nature du mouvement et du temps restent encore insaisissables.

Téléportation quantique 

Nier le principe du PE/MR en prétendant qu’il est faux parce que la pierre atteint l’arbre est tentant, mais cela reviendrait à supposer qu'un mobile pourrait passer de son point de départ directement à son arrivée sans zones intermédiaires en "B". Ce raisonnement est contestable, car il s'apparenterait à une téléportation. 

Bien que l’idée de téléportation en dessous des échelles de Planck en physique quantique soit intéressante, il faudrait alors la prouver et l’expliquer. Si une telle téléportation quantique était un jour confirmée, elle soulèverait d’autres paradoxes. C’est une autre proposition d’explication que j’aborde dans un article connexe.

Recherche personnel : 

Dans ma jeunesse en 1998, j’ai redécouvert par hasard le Parcours Éternel des Moitiés Restantes (PE/MR) sans avoir jamais entendu parler des paradoxes de Zénon. Cela m’a conduit, au fil des décennies, à développer une pensée indépendante de ce qui avait été exploré auparavant par d’autres penseurs. En tentant d’expliquer le PE/MR, j'ai élaboré plusieurs théories spatio-temporelles dans lesquelles je me demande si le temps pourrait être une sorte d’hologramme, une illusion de notre propre esprit. Bien que mes idées actuelles ne soient que des hypothèses et que je reconnaisse les lacunes de mes propres théories qui nécessitent encore d'être comblées, je partage le cheminement de mes réflexions approfondies accumulées au fil des décennies de travail, expliquant pourquoi ces concepts me semblent assez pertinents.

Je propose que l’univers s’étend au-delà des quatre dimensions perceptibles, avec l’infini comme cinquième dimension de l’univers et l’éternité comme la sixième. Dans cette nouvelle cosmologie d’un cosmos à 6 dimensions, je suggère que sans la compréhension de ces dimensions supplémentaires, il serait peut-être logique de percevoir des contradictions dans les paradoxes de Zénon. Selon ces hypothèses, ces contradictions apparaîtraient car nos sens ne nous permettent pas de saisir la réalité de ces dimensions supérieures. Ne percevant l’univers qu’en 4D, nous sommes peut-être démunis pour résoudre les paradoxes millénaires de Zénon.

Mon livre numérique gratuit sur mon site explore ces concepts nouveaux et propose des réponses possibles à ces énigmes. Vous pouvez découvrir ces idées dans le premier chapitre de mon livre : 

Les chapitres suivants de mon livre vont bien au-delà du simple cadre des problèmes de Zénon et présentent des théories qui, tout comme celles de Zénon, s’appuient sur des faits plus ou moins observables ou déductibles. J’essaie de démontrer et de comprendre comment une cosmologie à 6D pourrait radicalement changer notre perception de notre place dans cet univers. Je me demande aussi dans quelle mesure cela ne pourrait pas un jour nous apprendre peut-être le voyage dans le temps et l’espace et comment même la téléportation pourrait être possible à travers la 5e et la 6e dimension. Bien sûr, bien que j’essaie de démontrer ces théories par des choses plus ou moins vérifiables, une grande part de mes théories est au stade de spéculation.

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Cet article, fruit de longues années de réflexion sur des questions spatiotemporelles, est librement utilisable, à condition de citer la source : https://dichotomieresolue.jimdofree.com/ 

Olivier Dusong